Les Equations aux dimensions

Blog 081

Mars 2008

Les Equations aux dimensions.

Pour nos lecteurs ayant fait des études scientifiques le petit travail qui va suivre ne fera que rappeler des souvenirs peut-être anciens pour certains et pour ceux qui ont exercé une fonction d’Ingénieur cela leur rappellera l’usage d’un outil bien pratique
permettant de vérifier l’exactitude de leurs calculs et surtout dans quelles unités exprimer les résultats.

Tout d’abord rappelons que tout calcul doit être cohérent en utilisant des unités d’un même système.

Selon les techniques nécessitant des calculs numériques le spécialiste doit utiliser un système d’unités adapté aux ordres de grandeur des phénomènes physiques concernés.

En effet, on conçoit mal un horloger utiliser les mêmes unités qu’un électricien calculant un turbo-alternateur de plusieurs centaines de Mégawatts sans parler du physicien travaillant au niveau de l’atome...

Et cependant malgré les différentes échelles auxquelles ces spécialistes travaillent les mêmes formules mathématiques s’appliquent, seuls les systèmes d’unités diffèrent en fonction des ordres de grandeurs des phénomènes physiques. Précisons toutefois que tous ces systèmes d’unités reposent sur des grandeurs physiques de base incontournables...

Il s’agit des unités de longueur (L), de masse (M), de temps(T) , d’intensité électrique( I ) .

Les physiciens utilisent en priorité le système CGS ( centimètre, gramme, seconde ) ;

Les électriciens utilisent le système MKSA ( mètre, kilogramme, seconde, Ampère ) ;

Les mécaniciens utilisent le système MKS ( mètre, kilogramme, seconde ) mais également parfois, pour les anciens, le système MKpS dans lequel le « « kilogramme-force » remplace l’unité de force du système MKS ( Newton ) au détriment le la masse et fait intervenir le coefficient « g » de gravitation ( 9,81m/sec² ) .

Nous n’évoquons là que les systèmes d’unités internationaux légaux ( Giorgi ) les Anglo-Saxons restant, pour certains, attachés à leur système moins souple et non décimal...

Nous avons dit plus haut les intérêts que présentent les équations aux dimensions mais encore faut-il savoir les utiliser à bon escient et connaitre parfaitement par ailleurs les formules régissant les phénomènes physiques et surtout les relations de ces phénomènes entre eux.

Prenons à titre d’exemple une des plus simples définitions de la physique classique : la vitesse. Par définition la vitesse est l’espace parcouru pendant l’unité de temps ce qu’on peut écrire d’une façon élémentaire : n mètres en s secondes ou v=n/s et selon
la notation dimensionnelle : LT¯¹ et cela est valable pour n’importe quel système d’unités.

Des exemples plus compliqués peuvent être cités, par exemple une force dont la définition physique est le produit d’une masse par une accélération soit en langage simplifié F=mg mais dont la formule dimensionnelle est : MLT¯² ou le moment d’un couple qui est : ML²T ¯² et

- Un débit massique qui est le rapport d’une masse et d’un temps s’écrit : MT¯¹,

- Une pression a pour dimension : ML¯¹T¯².

On pourrait multiplier à l’infini les exemples à partir du moment où le principe de l’écriture de ces équations est acquis mais cependant où les problèmes deviennent plus compliqués c’est lorsqu’il y a, d’une part des grandeurs électriques à intégrer à ces équations et que nous avons volontairement ignorées du fait de leurs complexités, et d’autre part lorsque des coefficients numériques « sans dimensions » figurent dans les formules à utiliser dans quel cas il n’y a pas lieu d’en tenir compte...

Prenons par exemple la formule courante en mécanique des fluides : P = ½ ρ S v² dans laquelle apparaissent un coefficient sans dimension ½ et des valeurs parfaitement quantifiées dans ce type de cas seuls les valeurs de ρ, de S et de v doivent être prises en considération pour l’analyse dimensionnelle....

Notons également l’intérêt des équations aux dimensions pour changer de système d’unités sans commettre d’erreurs sur les rapports existant entre eux ce qui n’est pas rare ni évident dans la pratique...

Nous allons terminer là ce petit rappel de physique en rappelant une phrase célèbre dont je ne connais plus l’auteur ni le texte exact mais qui disait en substance « qu’il n’est pas de physique sans possibilité de faire des mesures »....

Rlz